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By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Wir wählen r maximal in 0 ≤ r ≤ n, so dass p nicht ar teilt. Sei genauso s maximal in 0 ≤ s ≤ m, so dass p nicht bs teilt. Der Koeffizient cr +s von x r +s in f g ist a0 br +s + · · · + ar bs + ar +1 bs−1 + · · · + ar +s b0 . Da p nicht ar bs , aber alle ar +i bs−i und bs+i ar −i mit i ≥ 1, teilt, ist p kein Teiler von cr +s . Damit teilt p auch nicht I(f g). Dies gilt für jedes irreduzible Element. Also ist I(f g) eine Einheit, da R ein ZPE-Ring ist. 43. Seien R ein ZPE-Ring und f ∈ R[x] mit I(f ) = 1.

Seien also n > 1 und f = n−1 i=1 (x − ai )g n−1 0 = f (an ) = ˜ n ). (an − ai ) g(a i=1 Da die a1 , . . , an paarweise verschieden sind, folgt n−1 (an − ai ) ≠ 0. i=1 ˜ n ) = 0. 37 ist dann Also ist g(a ˜ = (x − an )g. g Somit ist f = n i=1 (x − ai )g . Ringe 23 Bisher haben wir uns hauptsächlich mit K[x] beschäftigt, wobei K ein Körper war. Wir werden später aber häufig in Z[x] arbeiten müssen. Natürlich ist Z ⊆ Q und somit Z[x] ⊆ Q[x]. In Q[x] haben wir eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.

20. Sei k ein Körper. Gleichwertig sind: ¯. (1) k = k (2) Zu jedem nicht konstanten Polynom f ∈ k[x] existiert ein a ∈ k mit f (a) = 0. (3) k hat keine endlichen Erweiterungen ungleich k. (4) Die irreduziblen Polynome in k[x] sind linear. Beweis. 15(2). (2) ⇒ (3): Sei a algebraisch über k und ma das Minimalpolynom zu a. Dann ist ma irreduzibel. Nach (2) hat ma eine Nullstelle in k. Da ma irreduzibel ist, folgt grad ma = 1, d. h. ma = x − a ∈ k[x]. Somit ist a ∈ k und k hat keine algebraischen Erweiterungen ungleich k.

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