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Hallar el residuo de Ia funci6n f(z) = ----r; (Vl = 1). I - vz 5. Scan f y g dos funciones analiticas en tm punto z = a, con Ia particularidad d e q ue J (a) f. 0 y g(z) tiene en el p unto z = a un cero de segundo orden. -o= i) , ·- = (1, 'Yor), f=(/,'Yor), ~} . {"(, 'Yor). 'Y = { z E C: lz l = = 211 + I, m E N, n E N; > 0). n principales en dichos polos son 9n(z) j}. 14. Demostrar Ia igualdad 1 1 111 = {z E C: lzl == RJ, = -(z--n-)2 . (-1)"n - -- = 2 + trz L -11- - 1 z fn = ('Yn, 1~'), 1r ~ (a = a +sen2 cp 2v1 + a 2 13.

1 7/J(z) . = -12z + 14. 2 5 S1 izl = - 1 entonces 2 3125 21 Jcp(z)l = - = 97-, 32 32 17/J(z)l ~ l-12il + 14 = 89, csto es, Jrp(z)J > Jt/J(z)J. De acuerdo con el teorema de Rouche los cinco ceros del polinomio P se encuentrim en el drculo donde fn izl < ~} . Ks12 = { z E IC: 1 "fn={ zEC:z =Rei , Determinemos para cuantos de ellos el modulo es menor que uno. Para ello hacemos P(z) = 'Pt (z) + tPt (z), fPt(Z) 5 - 2 + 12y2 + 14) = = -~- ~ + o(R-1) = -1r + o(n- 1) , £\rn arg P(z) = 2 = £\r" arg z5 + £\rn ( 1 + 11-12z zS , + 14.

Sea K C C un compacto arbitrario que no contienelos ceros del seno. Para todo z E K obtenemos que = ~ Demostraci6n. 1 el plano C. Segun el teorema de monodromfa (v. teorema 2 p. 31 cap. 31 t. 6) 1 Ia funci6n z =h(z) + In z + (-z-1-n11'+n11'-1) . Comparando Ia igualdad obtenida con el d esarrollo de ctg z en fracciones simples (v. formula (11) 1 p . 3)1 obtenemos que h(z) = const. Asf1 por consiguiente1 = i<•>rp(z) = zAela(z)P(z). ,. sen z = Cz If ( 1 - :11' ) e•f. 4. Desarrollo de Ia funcion sen z mediante un producto •infinito = mr (n = ±1~ ±2 1 •• • ) .

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