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By Jansen, Klaus

Jansen, Klaus. Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit (de Gruyter, 2008)(ISBN 3110203162)(521s)

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Beweis. 8 (i). NP-vollständige Probleme sind also die am schwierigsten zu lösenden Sprachen in NP: Nun stellt sich natürlich die Frage, wie schwer NP-vollständige Probleme denn wirklich sind. Die Antwort ist, wie oben schon geschrieben, unbekannt. Es gibt allerdings inzwischen über 1000 Probleme aus NP, von denen man weiß, dass sie NPvollständig sind, und für keines ist ein polynomieller Algorithmus bekannt. Es wird deshalb vermutet, dass P 6D NP gilt. 1. 1. Die Komplexitätsklassen P und NP unter der Voraussetzung P 6D NP: Bevor wir gleich im übernächsten Abschnitt das erste NP-vollständige Problem kennen lernen, wollen wir die Klassen P und NP auch für Entscheidungsprobleme definieren.

Xj / D falschg: Da insbesondere zulässig ist (d. h. :xi / für alle i 2 f1; : : : ; ng), ist für alle i 2 f1; : : : ; ng entweder vi 2 I 0 oder :vi 2 I 0 . Also gilt X v D a1 ak „ƒ‚… 1 1; v2I 0 n-mal wobei ai 2 N für alle i 2 f1; : : : ; ng. Da jede Klausel genau drei Literale hat, erhalten wir n X ai D Bj i Ä 3 mit Bj i 2 fbj i ; bNj i g: j D1 Weiter existiert für jede Klausel i D ai1 _ ai2 _ ai3 ein j 2 f1; : : : ; 3g so, dass 1 für alle i 2 f1; : : : ; ng. aij / D wahr, d. h. ai Hinzufügen geeigneter ci s und di s zu einer Lösung für S UBSET S UM ergänzt werden.

Juj/ . s ti ^ b tl / ! :s ti / ^ a tij / ! b tl ! juj/i . 34 Kapitel 2 Die Komplexitätsklassen P und NP Wie man sieht, folgen wir mit der obigen Konstruktion genau der zu Beginn dieses Beweises erläuterten Idee, die Arbeitsweise der Turingmaschine durch eine Formel zu simulieren. a/ die Transformation u ! u/ erfüllbar ist. u/, wobei im Folgenden n WD juj. Da ˛ D ˛1 ^ ^ ˛8 ; reicht es also, die Anzahl der Variablen in den Teilformeln abzuschätzen. juj/ polynomielle Anzahl der Variablen (man beachte, dass die Werte s; m und % Konstanten sind, die von der Turingmaschine M abhängen).

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